ระบบอาจารย์ที่ปรึกษา

รหัสนักศึกษา * :

* สำหรับนักศึกษารหัส 57 และ 58



Home
Faculty Introduction
ประวัติคณะวิศวกรรมศาสตร์
ทำเนียบคณบดี
สารจาก อธิการบดี
สารจาก คณบดี
วิสัยทัศน์ & พันธกิจ
คณะกรรมการบริหาร
คณาจารย์
บทความที่ได้รับตีพิมพ์
VDO แนะนำคณะวิศวกรรมศาสตร์
Departments
Electronics Engineering
Computer Engineering
Telecommunication & ICE
Control, Instrumentation and Mechatronics Engineering
Electrical Power Engineering
Mechanical Engineering
Civil Engineering
Chemical Engineering
Industrial & Logistics Engineering
Undergraduate Programs
Postgraduate Programs
โครงงานวิศวกรรม
ระเบียบการดำเนินการวิชาโครงงานวิศวกรรม
Download Font ที่ใช้ในการทำรายงานวิชาโครงงานวิศวกรรม
E-Classroom
Research Center
MIMs
CAMER
D3MC
Microwave & Antenna
Career Opportunities
Contact Us








ลำแสงแอรี่: คลื่นแสงชนิดใหม่ (Airy Beam: New Class of Optical Waves) ตอนที่ 1

รองศาสตราจารย์ ดร. ธวัชชัย เมธีวรัญญู  
อาจารย์ประจำภาควิชาวิศวกรรมโทรคมนาคม ​ 
คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานคร  
31 มกราคม 2560  

       ในชีวิตประจำวันของเรา สามารถพบเห็นแสงเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงได้ไม่ยาก เช่น แสงแดดที่ส่องผ่านหน้าต่าง ลำแสงของไฟฉาย แสงจากเครื่องฉายภาพยนตร์ที่พุ่งไปยังจอ เป็นต้น หากย้อนกลับไปเมื่อราว 300 ปีก่อนคริสตกาล ยูลิคแห่งอเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria) เป็นนักคณิตศาสตร์คนสำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี ได้รวบรวมหลักการเกี่ยวกับปรากฏการณ์ของแสง และเขียนเป็นตำรา “Optica” ซึ่งปัจจุบันวิชาทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตจึงมีรากฐานอยู่บนหลักการนี้
       ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 19 เจมส์ คลาร์ก แมกซ์เวลล์ (James Clark Maxwell) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ และนักฟิสิกส์ชาวสกอต ได้คิดสูตรทฤษฎีของพลศาสตร์ไฟฟ้า (electrodynamics) และได้ยืนยันหลักการเกี่ยวกับปรากฏการณ์ของแสงนั้น แต่ยังคงมีคำถามต่อไปอีกว่า แสงสามารถเคลื่อนที่เป็นแนววิถีโค้งได้หรือไม่?
       เพื่อให้เข้าใจว่าแสงสามารถเคลื่อนที่เป็นแนววิถีโค้งได้ เราจำเป็นต้องทำความรู้จักความหมาย และต้นกำเนิดของการเลี้ยวเบน (Diffraction) กันก่อน ในระหว่างปี ค.ศ. 1613-1663 ณ. มหาวิทยาลัยโบโลญา (University of Balogna) ฟรันเชสโก มาเรีย กริมัลดิ (Francesco Maria Grimaldi)    เป็นคนแรกที่แสดงให้เห็นถึงการเลี้ยวเบนของแสง โดยทดลองให้แสงผ่านสลิตแถบ (คือความยาวคลื่นมากกว่าความกว้างของสลิตมาก) จะเกิดปรากฏการณ์การเลี้ยวเบน ทุกๆจุดบนช่องสลิตเดี่ยว จะทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดแสงใหม่ ตามหลักการฮอยแกน แสงจากแหล่งกำเนิดแสงใหม่จะเกิดการทับซ้อนกันบนฉาก มีผลให้แถบสว่างกลางมีขนาดกว้างกว่าสลิต (ดูรูปที่ 1) นอกจากนี้ ถัดจากแถบสว่างกลางออกไปทั้งสองข้างยังมีแถบสว่างและมืดสลับกันไป ดังจะเห็นในรูป 1 ในปี ค.ศ. 1894 Arnold  Sommerfeld ได้นิยามการเลี้ยวเบนไว้ว่า “เป็นการเบี่ยงเบนรังสีแสงใดๆ จากแนวเส้นตรง ซึ่งไม่สามารถให้ความหมายว่าเป็น การสะท้อน (Reflection) หรือ การหักเห (Refraction) ได้” 

รูปที่ 1 กราฟของแบบรูปการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยว

รูปที่ 2 ลำแสงเกาส์เซียนกระจายออกขณะที่แผ่ไป นี่เกิดจากองค์ประกอบต่างๆของคลื่นระนาบในสเปกตัมของเกาส์เซียนซึ่งแผ่ไปในทิศทางต่างๆ

       ในชีวิตประจำวัน เราสามารถพบเห็นการเลี้ยวเบนได้เช่นกัน เช่น เราจะเห็นเงาของเครื่องบิน ซึ่งมันมัวมากๆ แสงจากเลเซอร์พอยเตอร์ที่มีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางลำแสง 1 mm หลังจากได้เดินทางหลายร้อยกิโลเมตร ลำแสงกระจายออกไปเมื่อถึงผิวดวงจันทร์ เป็นต้น
       ดังนั้น ผลการเลี้ยวเบนจึงไม่สามารถอธิบายด้วยรังสีเชิงแสงได้ การเลี้ยวเบนเป็นสมบัติของคลื่น จึงมีอยู่ในสาขาวิขากลศาสตร์ควอนตัม และสาขาอื่นๆที่ใช้สมการคลื่น มีวิธีที่จะสามารถเข้าใจการเลี้ยวเบนของลำแสงเกาส์เซียนแบบง่าย ๆ ได้ เมื่อทำการแปลงฟูเรียร์ เราจะเห็นได้ชัดว่า ลำแสงนั้นจะประกอบด้วยคลื่นระนาบมากมาย ซึ่งคลื่นระนาบทั้งหมดนี้มีเวกเตอร์คลื่น (wave vector: เป็นเวกเตอร์ที่ชี้ในทิศทางการแผ่ของคลื่น) แตกต่างกัน ดังนั้นเมื่อคลื่นระนาบเหล่านี้แผ่ไปในทิศทางต่างๆ จึงเป็นผลทำให้ลำแสงเกาส์เซียนกระจาย (หรือ บาน) ออก ดังแสดงในรูปที่ 2

รูปที่ 3 ตัวอย่างง่าย ๆ ของคลื่นหน้าไม่เลี้ยวเบน

รูปที่ 4 ซ้าย: ลำแสงเบสเซล สร้างจากการซ้อนทับของคลื่นระนาบในลักษณะกรวยวงกลม ขวา: แมทธิว สร้างจากการซ้อนทับแบบกรวยวงรี

       การทำให้คลื่นไม่เลี้ยวเบนจึงเป็นเรื่องที่ท้าทาย ตัวอย่างง่าย ๆ ของคลื่นหน้า (wavefront) ที่ไม่เลี้ยวเบน คือการทับซ้อนของคลื่นระนาบ 2 คลื่นโดยมีขนาดและเฟสเท่ากัน แต่ทำมุมในทิศทางตรงกันข้าม เทียบกับแกนทิศทางการแผ่ ดังแสดงในรูปที่ 3 เราเรียกแบบรูปการไม่เลี้ยวเบนนี้ว่า คลื่นหน้าที่มีพลังงานไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม เราสามารถขยายแนวความคิดนี้ ให้เป็นแบบรูปการแทรกสอดที่ไม่เลี้ยวเบนสองมิติได้  ตัวอย่างเช่น การทับซ้อนของคลื่นระนาบ 4 คลื่น ดังแสดงในรูปที่ 4 ดังนั้น ตราบใดที่คลื่นทั้งหมดเคลื่อนที่ด้วยเวกเตอร์คลื่นเดียวกัน ความเข้ม (Intensity) ของคลื่นจะเป็นอิสระ ไม่ขึ้นกับทิศทางการแผ่
       เราสามารถสร้างลำแสงไม่เลี้ยวเบนได้โดยการซ้อนทับกรวยของคลื่นระนาบ หากจำนวนคลื่นระนาบเป็นอนันต์ ทับซ้อนกันบนขอบของกรวยกลม เราจะเรียกลำแสงชนิดนี้ว่า ลำแสงเบสเซล (Bessel beam) แต่ถ้าหากกรวยมีลักษณะวงรี เราเรียกว่า ลำแสงแมทธิว (Mathieu beam) รูปที่ 4 แสดงแบบรูปความเข้มของลำสองทั้งสองชนิ
       สังเกตว่า ลำแสงไม่เลี้ยวเบนดังกล่าวนั้น มีพลังงานเป็นอนันต์ เนื่องจากเมื่อทำการปริพันธ์ (Integral) รูปแบบความเข้มตามขวางแล้ว เราไม่สามารถหาค่าพลังงานค่าๆ หนึ่งได้ เพราะฉะนั้น ในทางปฏิบัติ การทดลองสร้างจริงจึงมีข้อจำกัดอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม ยังมีความเป็นไปได้ในการสร้างลำแสงไม่เลี้ยวเบน และมีพลังงานจำกัด

รูปที่ 5 ฟังก์ชั่นแอรี่  

รูปที่ 6 กลุ่มคลื่นของสมการที่ 1(a) มีความเร่งตามเวลา และไม่บานออก

       ในปี ค.ศ. 1979 Michel Berry และ Nandor Balazs ได้พบผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์ (Shrödinger equation) หนึ่งมิติในสาขากลศาสตร์ควอนตัม (Quantum mechanics)  เราเรียกผลเฉลยนี้ว่า “กลุ่มคลื่นแอรี่ (Airy wavepacket)” ซึ่งมีสมบัติไม่เลี้ยวเบน และมีความเร่ง
       สมการชเรอดิงเงอร์หนึ่งมิติแสดงในสมการที่ 1 มีผลเฉลยในรูปของฟังก์ชั่นแอรี่ดังต่อไปนี้

1(a)
1(b)

โดยที่ Ai(xคือฟังก์ชั่นแอรี่ ซึ่งตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่ชื่อ George Biddell Airy (1801-1892) ผู้ซึ่งค้นพบฟังก์ชั่นนี้ในการอธิบายสมบัติรุ้งกินน้ำ ฟังก์ชั่นแอรี่เป็นผลเฉลยของสมการอนุพันธ์อันดับสอง

(2)

ในลิมิต x → -∞ ฟังก์ชั่นนี้มีพฤติกรรมสั่นขึ้นและลง ขณะที่ x > 0 มีค่าลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล กราฟของฟังก์ชั่นนี้สามารถแสดงดังในรูปที่ 5 จะเห็นได้ว่าฟังก์ชั่นแอรี่ ไม่สามารถปริพันธ์กำลังสองได้ เนื่องจากเมื่อ x → -∞ ขนาดของฟังก์ชั่นไม่ลดลงเป็นศูนย์ จึงทำให้พลังงานมีค่าเป็นอนันต์ และไม่สามารถกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของฟังก์ชั่นได้ Berry และ Balazs ได้แสดงให้เห็นว่า รูปร่างของผลเฉลยแอรี่เคลื่อนที่เป็นแนววิถีโค้ง (ดังแสดงในรูปที่ 6) โดยมีรูปร่างลักษณะพาราโบลาซึ่งนิยามด้วยเทอมความเร่ง B3t2/(4m2ในสมการที่ 1(b)
       ในปี ค.ศ. 2007 กลุ่มนักวิจัยของมหาวิทยาลัยเซ็นทรัลฟลอริดา (University of Central Florida) นำโดย ศาสตราจารย์ Demetrios Christodoulidies ได้ทำนายลำแสงแอรี่ที่มีพลังงานจำกัดจากทฤษฏี และแสดงให้เห็นจริงจากการทดลองในสาขาทัศนศาสตร์ (Optics) เนื่องจากสมการชเรอดิงเงอร์ในสาขากลศาสตร์ควอนตัมเหมือนกันทุกประการกับสมการคลื่นเฉียดแกน (Paraxial wave equation) ในสาขาทัศนศาสตร์ (ดูสมการที่ 3) ดังนั้น เราจึงสามารถพบลำแสงแอรี่ในสาขาทัศนศาสตร์ได้ ความเร่งในที่นี้หมายถึงว่า ลำแสงเคลื่อนที่ตามแนววิถีโค้งได้ด้วยตัวมันเอง ส่วนการเลี้ยวเบนของลำแสงในสาขานี้ หมายถึงว่า ผลการเลี้ยวเบนมีความเป็นไปได้น้อยมาก เมื่อลำแสงได้แผ่ไประยะทางไกลๆ ในวัสดุเนื้อเดียวกัน แต่อย่างไรก็ตาม ลำแสงแอรี่ยังคงเลี้ยวเบนน้อยกว่าลำแสงชนิดอื่นมาก เช่นลำแสงเกาส์เซี่ยน ธรรมชาติที่ยอดเยี่ยมนี้ นำไปสู่แนวความคิดที่น่าสนใจ และการประยุกต์ใช้งานอันน่าตื่นเต้นมากมาย

(3)

       เพื่อที่จะสามารถสร้างลำแสงแอรี่จากการทดลองได้จริง ฟังก์ชั่นแอรี่จำเป็นต้องคูณด้วยฟังก์ชั่นเอกซ์โพเนนเชียล จึงทำให้ได้ลำแสงมีค่าพลังงานจำกัด ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้

(4)

w เป็นความกว้างของโลบหลัก (main lobe) รูปที่ 7 แสดงรูปแบบความเข้มของลำแสงแอรี่ |φ(x,z=0)|2 ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นนี้ สมการที่ (4) เราสามารถหาผลเฉลยของสมการคลื่นเฉียดแกนได้ดังนี้ 

(5)

เช่นเดียวกันกับฟังก์ชั่นแอรี่ที่มีพลังงานเป็นอนันต์ ลำแสงแอรี่สามารถเคลื่อนที่เป็นแนววิถีโค้งได้ซึ่งแสดงด้วยเทอม z2/(4k2x04ดังเห็นได้จากรูปที่ 8 ลำแสดงแอรี่เลี้ยวเบนน้อยมากหลังจากที่ได้แผ่ไปแล้วเป็นระยะทาง 20 เซนติเมตร 

รูปที่ 7 ลำแสงแอรี่จากสมการ (4)
 

รูปที่ 8 แบบรูปความเข้มของลำแสงแอรี่ที่ระยะ z=0 และเมื่อได้แผ่ที่ระยะ 10 ซ.ม. และ 20 ซ.ม. ตามลำดับ [1]
 

รูปที่ 9 ผลการจำลองของแนววิถีพาราโบลิกสำหรับลำแสงแอรี่ [1]

       ลำแสงแอรี่เคลื่อนที่เป็นแนววิถีพาราโบลิกนั้นขึ้นอยู่กับว่าคลื่นหน้าของลำแสงแอรี่จะทำมุมกับแกนแผ่เท่าไร ดังจะเห็นรูปที่ 9 ค่าการเบนสูงสุดของลำแสงแอรี่คือ

xd  บ่งบอกขนาดค่าการเบนตามแกนพิกัด x โดยที่ θ  คือมุมของลำแสงที่ทำมุมกับแกนแผ่ z แนววิถีโค้งนี้ มีลักษณะคล้ายแนววิถีของขีปนาวุธมากๆ ถึงแม้ไม่มีศักย์ภายนอกมากระทำ แต่มันเป็นเรื่องแล้วแต่กรอบอ้างอิง เส้นวิถีขีปนาวุธนี้ได้แสดงให้เห็นจริงจากการทดลอง [1] 


เอกสารอ้างอิง
[1] G.A. Siviloglou and D.N. Christodoulides, Opt. Lett. 32, 979-81 (2007).



Copyright © 2014 Faculty of Engineering, Mahanakorn University of Technology. All Rights Reserved.